Question

设函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
（Ⅰ）若x∈R，求函数f（x）的最小正周期
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的 对边，若bsinA=

3

accosB，求f（B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）首先通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用公式求出函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦定理，首先求出角B的值，进一步利用函数的关系式求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+2cos²x+1
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
所以函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的 对边，若bsinA=

3

acosB，
利用正弦定理得：

a

sinA

=

b

3 cosB

=

b

sinB

，
所以：

3

cosB=sinB，
整理得：tanB=

3

，
由于：0＜B＜π，
则：B=

π

3

；
f（B）=

2

sin(2B+

π

4

)+2
=

2

sin(

2π

3

+

π

4

)+2
=

3+ 3

2

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质周期性的应用，正弦定理得应用，及相关的运算问题．属于基础题型．