Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，△AF₁F₂为正三角形，且以AF₂为直径的圆与直线y=

3

x+2相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△AF₁F₂是正三角形，知a=2c，由F₂（c，0），A（0，b），知以AF₂为直径的圆的圆心为(

1

2

c， 

1

2

b)，半径r=

1

2

a，由该圆与直线

3

x-y+2=0相切，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由F₂（1，0），知l：y=k（x-1），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)，

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由菱形对角线垂直，知（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由此入手能够推导出存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，

1

4

）．

解答：解：（Ⅰ）∵△AF₁F₂是正三角形，∴a=2c，
由已知F₂（c，0），A（0，b），
∴以AF₂为直径的圆的圆心为(

1

2

c， 

1

2

b)，半径r=

1

2

a，
又该圆与直线

3

x-y+2=0相切，
∴

| 3 2 c- b 2 +2|

2

=

a

2

，
由a=2c，得b=

3

c，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₂（1，0），l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，y1+y2=k(x1+x2-2)，
∴

PM

+

PN

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由菱形对角线垂直，则(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，
由已知条件k≠0，k∈R，
∴m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵

3

k2

＞0，∴0＜m＜

1

4

，
故存在满足题意的点P且m的取值范围是（0，

1

4

）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．