Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

2

=1，过程P（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆的方程并将得到的等式作差可得：

1

4

（x₁²-x₂²）+

1

2

（y₁²-y₂²）=0．由P为AB的中点，利用中点的坐标公式算出x₁+x₂=y₁+y₂=2，代入前面的等式并利用直线的斜率公式，即可算出直线l的斜率．

解答：解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵A、B两点在椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上，∴

x12 4 + y12 2 =1 x22 4 + y22 2 =1

，
两式相减可得：

1

4

（x₁²-x₂²）+

1

2

（y₁²-y₂²）=0，化简得

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

．
又∵点P（1，1）是AB的中点，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
因此可得直线l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

点评：本题给出椭圆内一点P，求经过点P且以它为中点的椭圆的弦所在直线的方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、直线的斜率公式和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．根据椭圆的方程，利用直线的斜率公式并采用“设而不求”的方法来解，是解决本题的关键所在．