Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1
（1）若?x∈R使f（x）＜bg（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，命题p：F（x）在区间[-3，-2]上单调递减，命题q：方程x²+mx+1=0有两不等的正实根，若命题p∧q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b•g（x），转化为?x∈R，x²-bx+b＜0，再利用二次函数的性质得△=（-b）²-4b＞0，解出实数b的取值范围；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再对判断函数的单调性，可求出命题p为真时实数m的取值范围，进而根据方程的根的个数与△的关系，求出命题q实数m的取值范围，最后由命题p∧q为真，则命题p与q均为真，求出两个范围的交集得到答案．

解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b•g（x），得?x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴实数b的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题设得F（x）=x²-mx+1-m²，
其图象是开口朝上且对称轴方程为x=

m

2

的抛物线，
若F（x）在区间[-3，-2]则

m

2

≥-2
即m≥-4
若x²+mx+1=0有两不等的正实根，
则

m2-4＞0 m＜0

解得m＜-2
又∵命题p∧q为真，则命题p与q均为真，
∴-4≤m＜-2

点评：本题的（1）考查了存在性问题，存在性问题是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．（2）的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质及二次方程根与系数的关系．