Question

【题目】已知各项均不为0的数列{an}满足a1=a，a2=b，且an2=an﹣1an+1+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．
（1）若λ=0，求证：数列{an}是等比数列；
（2）求证：数列{an}是等差数列的充要条件是λ=（b﹣a）2；
（3）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且对任意的n∈N* ， 满足bn﹣an=1，求证：数列{（﹣1）nanbn}的前2n项和为常数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：若λ=0，则an2=an﹣1an+1，n≥2，n∈N，

即有 = = =…= = = ，

则数列{an}是首项为a，公比为 的等比数列

（2）证明：①若数列{an}是等差数列，可得公差为b﹣a，首项为a，

即有an=a+（n﹣1）（b﹣a），

则λ=an2﹣an﹣1an+1=[a+（n﹣1）（b﹣a）]2﹣[a+（n﹣2）（b﹣a）][a+n（b﹣a）]

=2a（n﹣1）（b﹣a）+（n﹣1）2（b﹣a）2﹣n（n﹣2）（b﹣a）2﹣（2n﹣2）a（b﹣a）=（b﹣a）2；

②若λ=（b﹣a）2，即an2=an﹣1an+1+（b﹣a）2，（n≥2，n∈N），

由a1=a，a2=b，可得a22=a1a3+（b﹣a）2，解得a3=2b﹣a，

同样可得a4=3b﹣2a，…，猜想an=（n﹣1）b﹣（n﹣2）a=n（b﹣a）+2a﹣b，

证明：当n=1时，a1=b﹣a+2a﹣b=a，成立；

当n=2时，a2=2b﹣2a+2a﹣b=b，成立；

假设n≤k（k≥2，k∈N）有ak=k（b﹣a）+2a﹣b，

且ak2=ak﹣1ak+1+（b﹣a）2，

可得ak+1= = = =（k+1）（b﹣a）+2a﹣b；

故当n=k+1时，ak+1=（k+1）（b﹣a）+2a﹣b，成立．

综上可得，数列{an}是等差数列的充要条件是λ=（b﹣a）2

（3）证明：对任意的n∈N*，满足bn﹣an=1，可得b1=1+a，b2=1+b，

公比为 ，bn=（1+a）（ ）n﹣1，

an=bn﹣1=（1+a）（ ）n﹣1﹣1，

即有（bn﹣1）2=（bn﹣1﹣1）（bn+1﹣1）+λ，

则（b2﹣1）2=（b1﹣1）（b3﹣1）+λ，

（b3﹣1）2=（b2﹣1）（b4﹣1）+λ，

可得b2﹣a（ ﹣1）=（ ﹣1）2﹣b（ ﹣1），

化简整理可得a=b，

则（﹣1）nanbn=（﹣1）na（1+a），

则数列{（﹣1）nanbn}的前2n项和

﹣a（1+a）+a（1+a）﹣a（1+a）+a（1+a）﹣…+a（1+a）=0即为常数

【解析】（1）运用等比数列的定义，即可得到 = ，进而得到证明；（2）①若数列{an}是等差数列，运用等差数列的通项公式，代入即可得到λ=（b﹣a）2；②若λ=（b﹣a）2 ， 归纳，猜想an=（n﹣1）b﹣（n﹣2）a=n（b﹣a）+2a﹣b，再由数学归纳法证明即可；（3）求得bn=（1+a）（ ）n﹣1 ， 再由恒成立思想，可得（b2﹣1）2﹣（b1﹣1）（b3﹣1）=（b3﹣1）2﹣（b2﹣1）（b4﹣1），化简整理可得a=b，进而得到（﹣1）nanbn=（﹣1）na（1+a），即可得到所求和．
【考点精析】本题主要考查了等差关系的确定和等比关系的确定的相关知识点，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断才能正确解答此题．