Question

11．设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x₁|+|x₂|=2，求b的最大值；
（3）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），由x₁=-1，x₂=2是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，列出方程组，能求出f（x）的解析式．
（2）f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，且|x₁|+|x₂|=2，由此利用韦达定理、导数性质，结合已知条件能求出b的最大值．
（3）求出f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），求出${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，从而|g（x）|=|a（x+$\frac{1}{3}$）[3（x-a）-1]|，由此能证明|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{'}（-1）=3a-2b-{a}^{2}=0}\\{{f}^{'}（2）=12a+4b-{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，且a＞0，
解得a=6，b=-9，
∴f（x）=6x³+9x²-36x．
（2）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个根，且|x₁|+|x₂|=2，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{3a}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{a}{3}$，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=4，
∴（-$\frac{2b}{3a}$）²-2•（-$\frac{a}{3}$）+2|-$\frac{a}{3}$|=4，
∴b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤3，
设P（a）=3a²（3-a），则p′（a）=-9a²+18a，
由P′（a）＞0，得0＜a＜2，由P′（a）＜0，得a＞2，
∴函数P（a）在区间（0，2）上是增函数，在区间（2，3）上是减函数，
当a=2时，P（a）有极大值为12，∴P（a）在（0，3]上的最大值为12，
∴b的最大值为2$\sqrt{3}$．
证明：（3）∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的两根，∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），
∵${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{a}{3}$，x₂=a，∴${x}_{1}=-\frac{1}{3}$，
∴|g（x）|=|3a（x+$\frac{1}{3}$）（x-a）-a（x+$\frac{1}{3}$）|=|a（x+$\frac{1}{3}$）[3（x-a）-1]|，
∵x₁＜x＜x{}_{2}，即-\frac{1}{3}＜x＜a，∴|g（x）|=a（x+\frac{1}{3}$）（-3x+3a+1），
∴|g（x）|=-3a（x+$\frac{1}{3}$）（x-$\frac{3a+1}{3}$）=-3a（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{3{a}^{2}}{4}$+a²+$\frac{1}{3}a$
≤$\frac{3{a}^{2}}{4}+{a}^{2}+\frac{1}{3}a$=$\frac{a（3a+2）^{2}}{4}$+a²+$\frac{1}{3}a$=$\frac{a（3a+2）^{2}}{12}$，
∴|g（x）≤$\frac{1}{12}$a（3a+2）²．

点评 本题考查函数解析式的求法，考查实数的最大值的求法，考查不等式的证明，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．