Question

【题目】如图，已知四面体ABCD中，DA=DB=DC=且DA、DB、DC两两互相垂直，点是△ABC的中心.

(1)求直线DA与平面ABC所成角的大小(用反三角函数表示)；

(2)过作OE⊥AD，垂足为E，求ΔDEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积；

(3)将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角记为，求的取值范图.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）[0，]．

【解析】

（1）由题意知可得即为直线DA与平面ABC所成角，在直角三角形DAO中求解即可.

（2）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高的和为，底为，代入圆锥的体积公式，即可得到答案；

（3）根据异面直线所成角的定义，可得当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角是90°，达到最大值．由直线与平面所成角的性质，当点A满足直线BC与OA平行时，直线DA与直线BC所成角等于∠OAD，达到最小值．由此结合题中数据加以计算，即可得到DA与BC所成角的余弦值的取值范围．

（1）由题意知，DO⊥底面ABC，∴即为直线DA与平面ABC所成角，

∵DA=DB=DC=且DA、DB、DC两两互相垂直，∴AB=CB=AC=6，∴AO=

∴，∴.

（2）过E作EH⊥DO，由已知可得，，OE＝2，由此得，

∴△DEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积；

（3）根据题意，可得在旋转过程中，当直线DA与直线BC垂直时它们的所成角为90°，

此时两条直线所成的角的余弦值为0，达到最小值．

当点A满足直线BC与OA平行时，DA与BC所成的角等于∠OAD，由直线与平面所成角的性质，可得此时两条直线所成的角达到最小值，余弦值达到最大值．

∵DA＝DB＝DC＝1，且DA，DB，DC两两互相垂直，

∴AB＝BC＝CA，得到△ABC是边长为的等边三角形，

因此圆O的半径RAB，

设直线BC与OA平行时的点A的位置为A'，

∴Rt△AOD中，cos∠OA'D，即DA与BC所成的余弦值最大值为，

综上所述，直线DA与直线BC所成角余弦值的取值范围是[0，]．