Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁，x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N^*，a_n=f（n），则f（2010）=（　　）

A．4012

B．4018

C．2009

D．2010

Answer 1

分析：分别令n=1，2，3，4，求出a₁，a₂，a₃，a₄，总结规律得到{a_n}是首项为0，公差为2的等差数列，由此能求出f（2010）=a₂₀₁₀的值．

解答：解：a₁=0，
a₂=f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，
a₃=f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，
a₄=f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，
…
∴{a_n}是首项为0，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-2．
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，a₁=2×1-2=0，结论成立．
（2）假设n=k时，结论成立，即a_k=2k-2，
则当n=k+1时，a_k+1=f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k-2+2=2k，
结论也成立，
由（1）、（2）知，a_n=2n-2．
∴a₂₀₁₀=f（2010）=2×2010-2=4018．
故选B．

点评：本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律．