Question

已知函数，x∈（0，+∞）
（1）画出y=f（x）的大致图象，并根据图象写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）设试比较f（a），f（b）的大小．
（3）是否存在实数a，b，使得函数y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象
如图所示
函数y=f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；
（2）由题意，f（a）=，f（b）=
∵
∴，
∴f（a）＞6，0＜f（b）＜3
∴f（a）＞f（b）；
（3）不存在实数a，b满足条件．
假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0
又f（x）=
①当a，b∈（0，）时，函数在（0，）上为减函数，
故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．
②当a，b∈（，+∞）时，函数在（，+∞）上为增函数，
故有，即，由此可得a，b是方程x²+3x-1=0的根，所以，不合题意，故此时实数a，b也不存在．
③当a∈（0，），b∈（，+∞）时，显然∈[a，b]，而f（）=0∈[a，b]不可能，此时a，b也不存在
综上可知，适合条件的实数a，b不存在．
分析：（1）由，x∈（0，+∞）的图象向下平移3个单位，再把x轴下方的翻折到x轴上方，可得y=f（x）的大致图象，从而可得函数y=f（x）的单调区间；
（2）分别表示出f（a），f（b），确定其范围，即可比较f（a），f（b）的大小；
（3）可假设存在实数a，b，使得y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，）时，a，b∈（，+∞）时，a∈（0，），b∈（，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在．
点评：本题考查函数的图象，考查函数与方程的综合应用，考查绝对值函数，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，是一道综合性较强的题，思维难度大．