Question

（2008•天河区模拟）如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，可得DC⊥平面ABC，利用线面垂直的性质，可得DC⊥AB；
（2）过C作CE⊥AB于E，连接ED，可证∠CED是二面角D-AB-C的平面角．设CD=a，则BC=

a

tan30°

=

3

a，从而EC=BCsin60°=

3a

2

，在Rt△DEC中，可求tan∠DEC．

解答：（1）证明：∵DC⊥BC，且平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
又AB?平面ABC，
∴DC⊥AB．…（5分）
（2）解：过C作CE⊥AB于E，连接ED，
∵AB⊥CD，AB⊥EC，CD∩EC=C，
∴AB⊥平面ECD，
又DE?平面ECD，∴AB⊥ED，
∴∠CED是二面角D-AB-C的平面角，…（9分）
设CD=a，则BC=

a

tan30°

=

3

a，
∵△ABC是正三角形，
∴EC=BCsin60°=

3a

2

，
在Rt△DEC中，tan∠DEC=

DC

EC

=

a

3a 2

=

2

3

．…（13分）

点评：本题以面面垂直为载体，考查面面垂直、线面垂直的性质，考查面面角，解题的关键是正确作出线面角，有一定的综合性．