Question

已知函数f（x）=

x2+4x+k2

x

，x∈[1，3]，若对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则正数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：

分析：把已知的函数解析式化简变形，得到f（x）=x+

k2

x

+4．然后对k分类求出函数f（x）的值域，结合对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，
不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，转化值域间的关系列不等式求解k的取值范围．

解答： 解：f（x）=

x2+4x+k2

x

=x+

k2

x

+4．
当0＜k＜1时，函数f（x）在[1，3]上为增函数，函数的值域为[k2+5，

k2

3

+7]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2（k²+5）≥

k2

3

+7，
∴0＜k＜1；
当1≤k≤

3

时，函数f（x）在[1，3]上的值域为[2k+4，

k2

3

+7]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥

k2

3

+7，
∴1≤k≤

3

；
当

3

≤k≤3时，函数f（x）在[1，3]上的值域为[2k+4，k²+5]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥k²+5，
∴

3

≤k≤3；
当k＞3时，函数f（x）在[1，3]上为减函数，函数的值域为[

k2

3

+7，k2+5]
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2×(

k2

3

+7)≥k2+5，
∴3＜k≤3

3

．
综上，正数k的范围是：（0，3

3

]．
故答案为：（0，3

3

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键在于明确对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立的意义，是中高档题．