Question

14．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=$\sqrt{6}$
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，推导出OP⊥AB，OP⊥OC，从而OP⊥面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，
∵△PAB是等边三角形，∴OP=$\sqrt{3}$，且OP⊥AB，
由题意知△ABC为等边三角形，且OC=$\sqrt{3}$，
在△POC中，∵OC²+OP²=CP²，∴OP⊥OC，
∴OP⊥面ABC，
∵OP?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．
解：（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（-1，0，0），D（-2，$\sqrt{3}$，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PBC的法向量，
$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}b+\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-2a+\sqrt{3}b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）＜
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由图形得二面角B-PC-D的平面角为钝角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．