Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；②对?x∈R，f(

3

4

-x)=f(

3

4

+x)成立；③当x∈(-

3

2

，-

3

4

]时，f（x）=log₂（-3x+1），则f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，由②得出f(-x)=f(

3

2

+x)两者结合得出函数的周期性，再结合③即可求出f（2011）．

解答：解：由于函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）对任何x都成立，
由②得出f(-x)=f(

3

2

+x)
∴f(

3

2

+x)=-f(x)
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期为3的周期函数，
则f（2011）=f（1）=-f（-1）=-log₂4=-2，
故答案为：-2

点评：本题考查函数的对称性与周期性的性质，知识性较强．解答的关键是由函数的对称性得出函数的周期性．