Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB₁上，且BD=

1

3

BB1，A₁C∩AC₁=E．
（1）求证：直线DE与平面ABC不平行；
（2）设平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=

7

7

，求AA₁的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立坐标系，求出

DE

=（-2，3，

h

6

），平面ABC的法向量为

n1

=（0，0，1），可得

DE

•

n1

=

h

6

≠0，即可证明直线DE与平面ABC不平行；
（2）求出平面ADC₁的法向量，利用平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=

7

7

，建立方程，即可求得结论．

解答： 解：（1）建立如图所示的坐标系，设AA₁=h，则

DE

=（-2，3，

h

6

），平面ABC的法向量为

n1

=（0，0，1），
∵

DE

•

n1

=

h

6

≠0，
∴直线DE与平面ABC不平行；
（2）设平面ADC₁的法向量为

n2

=（x，y，z），则
∵

AD

=（2，0，

h

3

），

AC1

=（0，6，h），
∴

2x+ hz 3 =0 6y+hz=0

∴

n2

=（-

h

6

，-

h

6

，1），
∵平面ADC₁与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=

7

7

，
∴

1

h2 18 +1

=

7

7

，
∴h=6

3

，即AA₁=6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，正确运用向量法是关键．