Question

（1）用反证法证明：如果x＞

1

2

，那么x²+2x-1≠0；
（2）用数学归纳法证明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

n

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）假设x²+2x-1=0，则x=-1±

2

，可得-1+

2

＜

1

2

，-1-

2

＜

1

2

，都与已知x＞

1

2

相矛盾，故假设错误，故x²-6x-4≠0成立．
（2）直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证n=1时不等式成立；（2）假设当n=k（k≥1）时成立，证明n=k+1时，不等式也成立．

解答：（1）证明：假设x²+2x-1=0，则x=-1±

2

，
要证：-1+

2

＜

1

2

，只需证：

2

＜

3

2

，只需证：2＜

9

4

上式显然成立，故有-1+

2

＜

1

2

．而-1-

2

＜

1

2

，
综上，-1+

2

＜

1

2

，-1-

2

＜

1

2

，都与已知x＞

1

2

相矛盾，
因此假设不成立，也即原命题成立．
（2）证明：①当n=1时，左边=

1

1×3

，右边=

1

2×1+1

=

1

3

∴n=1时成立，
②假设当n=k（k≥1）时成立，即

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)×(2k+1)

=

k

2k+1

(k∈N*)
那么当n=k+1时，左边=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2k-1)×(2k+1)

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k

2k+1

+

1

(2k+1)(2k+3)

=

k(2k+3)+1

(2k+1)(2k+3)

=

(2k+)(k+1)

(2k+1)(2k+3)

=

k+1

2k+3

∴n=k+1时也成立．
根据①②可得不等式对所有的n≥1都成立．

点评：考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，考查逻辑推理能力．