Question

(1)求证：2^n＋2·3ⁿ＋5n－4能被25整除；
(2)求证：1＋3＋3²＋…＋3^3n－1能被26整除(n为大于1的偶数)．

Answer 1

(1)见解析  (2)见解析

证明：(1)原式＝4(5＋1)ⁿ＋5n－4
＝4(C _n⁰5ⁿ＋C _n¹5^n－1＋C_n²5^n－2＋…＋C_nⁿ)＋5n－4
＝4(C _n⁰5ⁿ＋C _n¹5^n－1＋…＋C _n^n-2·5²＋C _n^n-1·5¹＋1)＋5n－4
＝4(C _n⁰5ⁿ＋C _n¹5^n－1＋…＋C _n^n-2·5²)＋25n，
以上各项均为25的整数倍，故得证．
(2)因为1＋3＋3²＋…＋3^3n－1＝＝ (3³ⁿ－1)
＝ (27ⁿ－1)＝ [(26＋1)ⁿ－1]．
而(26＋1)ⁿ－1＝C _n⁰26ⁿ＋C _n¹26^n－1＋…＋C _n^n-126＋C_nⁿ26⁰－1
＝C_n⁰26ⁿ＋C_n¹26^n－1＋…＋C_n^n-126
因为n为大于1的偶数，所以原式能被26整除．