Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（3）若x＞0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0；
（2）f（x）是偶函数，证明如下
令y=-1，∵f（xy）=f（x）+f（y），∴f（-x）=f（x）+f（-1），
∵f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），∵f（x）不恒为0，∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x+1）-f（2-x）≤0，∴f（x+1）≤f（2-x）
∵f（x）是偶函数，∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）
∵x＞0时，f（x）为增函数，
∴|x+1|≤|2-x|
∴
∴满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x取值集合为{x|}．
分析：（1）利用赋值法，令x=y=1、-1，可求f（1）和f（-1）的值；
（2）令y=-1，再利用偶函数的定义，可得结论；
（3）将不等式，利用函数的单调性与奇偶性转化为具体不等式，即可求得结论．
点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．