Question

已知函数f(x)=

4x2-7

2-x

，(x∈[0，1])
（1）求f（x）的值域A
（2）设a≥1，函数g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]的值域为B，若A⊆B成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用换元法求函数的值域，设t=2-x，从而将函数转化为关于变量t的函数，利用导数求其值域即可
（2）先利用导数证明函数g（x）在[0，1]上为减函数，从而求得集合B，再利用集合间的包含关系，列不等式求a的取值范围

解答：解：（1）∵f(x)=

4x2-7

2-x

，(x∈[0，1])
∴设t=2-x，则t∈[1，2]
函数f（x）=h（t）=

4(2-t)2-7

t

=

4t2-16t+9

t

=4t+

9

t

-16，（t∈[1，2]）
∵h′（t）=4-

9

t 2

=

4(t- 3 2 )(t+ 3 2 )

t2

∴函数h（t）在[1，

3

2

）上为减函数，在[

3

2

，2]上为增函数，且h（1）=-3．h（2）=-

7

2

，h（

3

2

）=-4
∴h（t）∈[-4，-3]，
即f（x）的值域A=[-4，-3]
（2）∵函数g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]，
∴g′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），x∈[0，1]
∵a≥1，∴

a

≥1
∴g′（x）≤0
∴函数g（x）在[0，1]上为减函数，且g（0）=-2a，g（1）=1-5a
∴g（x）∈[1-5a，-2a]，即B=[1-5a，-2a]，
∵A⊆B，即[-4，-3]⊆[1-5a，-2a]，
∴

1-5a≤-4 -2a≥-3

解得1≤a≤

3

2

点评：本题考查了换元法求函数的值域，单调性法求函数的值域，导数在函数单调性和最值中的应用，集合间的包含关系