Question

6．如图，正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），连接DP，分别过点C，A作直线DP的垂线，垂足为点E，F．
（1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）当点P在边BC上时，联结AP，正方形的边长为2，设CE=x，AF=y．求y与x的函数解析式．并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当x=1时．求EF的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形全等，即可得出结论；
（2）在Rt△CDE中，CD=2，利用勾股定理，求y与x的函数解析式．并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当x=1时，求出DE，即可求EF的长．

解答 解：（1）AF+CE=EF．证明如下：
∵AD=DC，∠AFD=∠DEC，∠ADF=∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴DF=CE，AF=DE，∴AF+CE=EF．
（2）由（1）的证明，可知DF=CE，AF=DE．由CE=x，AF=y，得DE=y．
于是，在Rt△CDE中，CD=2，利用勾股定理，得CE²+DE²=CD²，即得x²+y^²=4．
∴y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴所求函数解析式为y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，函数定义域为（0，$\sqrt{2}$）；．
（3）当x=1时，得y=$\sqrt{3}$．即得DE=$\sqrt{3}$
又∵DF=CE=1，EF=DE-DF，∴EF=$\sqrt{3}$-1

点评 本题考查三角形全等的证明，考查函数关系式的确定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．