Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a32=9a2•a6
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，记数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．若对于?n∈N^*，恒有Tn＞

1-m

1005

成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意，列出关于首项a₁与公比q的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）按照比数列{a_n}的前n项和公式求之即可；
（3）求得数列{

1

bn

}的前n项和为T_n，对于?n∈N^*，恒有Tn＞

1-m

1005

成立，其中m∈N^*，即可求得m的最小值．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则

2a1+3a1q=1 a12q4=9a12q6

，解得a₁=

1

3

，q=

1

3

，
∴a_n=

1

3n

；
（2）∴数列{a_n}的前n项和S_n=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

）；
（3）∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

，
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=-2（1-

1

n+1

）=-

2n

n+1

．
∵T_n＞

1-m

1005

恒成立，
即-

2n

n+1

＞

1-m

1005

恒成立，又m∈N^*，
∴m＞2011-

2

n+1

恒成立，
∴m_min=2011．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．