Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为BD的中点，G在CD上，且CG=

CD

4

，H为C₁G的中点，求：
（1）FH的长；
（2）三角形FHB的周长．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出F、H的坐标，即可求解距离；
（2）求出三角形的三边的长，即可求解三角形FHB的周长．

解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D（0，0，0），B（1，1，0），G（0，

3

4

，0），C₁（0，1，1）．
（1）因为F和H分别为BD和C₁G的中点，
所以F（

1

2

，

1

2

，0），H（0，

7

8

，

1

2

）．
所以FH=

( 1 2 -0)2+( 1 2 - 7 8 )2+(0- 1 2 )2

=

41

8

．
（2）由（1）可知FH=

41

8

，
又BH=

(0-1)2+(1- 7 8 )2+(0- 1 2 )2

=

9

8

，
BF=

2

2

，
所以三角形FHB的周长等于

4 2 + 41 +9

8

．

点评：本题考查空间中两点的距离公式的应用，距离空间直角坐标系求出有关点的坐标是解题的关键．考查空间想象能力以及计算能力．