Question

1．已知公比为q的等比数列{a_n}中，a₅+a₉=$\frac{1}{2}$q，则a₆（a₂+2a₆+a₁₀）的值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由a₅+a₉=$\frac{1}{2}$q求得${a}_{4}+{a}_{8}=\frac{1}{2}$，结合等比数列的性质可求a₆（a₂+2a₆+a₁₀）的值．

解答 解：∵a₅+a₉=$\frac{1}{2}$q，
∴${a}_{4}q+{a}_{8}q=\frac{1}{2}q$，
∴${a}_{4}+{a}_{8}=\frac{1}{2}$．
又∵数列{a_n}是等比数列，
∴${a}_{6}•{a}_{10}={{a}_{8}}^{2}，{a}_{2}•{a}_{6}={{a}_{4}}^{2}，{a}_{4}{a}_{8}={{a}_{6}}^{2}$，
∴a₆（a₂+2a₆+a₁₀）=${a}_{2}•{a}_{6}+2{{a}_{6}}^{2}+{a}_{6}•{a}_{10}$
=${{a}_{4}}^{2}+2{a}_{4}•{a}_{8}+{{a}_{8}}^{2}$=$（{a}_{4}+{a}_{8}）^{2}=（\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查灵活计算能力，是基础题．