Question

（2012•武清区一模）如图，六棱锥P-ABCDEF的底面ABCDEF是边长为l的正六边形，顶点P在底面上的射影是BF的中点O．
（1）求证：PA⊥BF；
（2）若直线PB与平面ABCDEF所成的角为

π

4

，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直证明线线垂直，即证明BF⊥平面PAO；
（2）以OB，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点，用坐标表示向量，进而求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式可求二面角A-PB-D的余弦值．

解答：（1）证明：连接OA，则∵AB=AF，BF的中点O，∴AO⊥BF
∵顶点P在底面上的射影是BF的中点O
∴PO⊥BF
∵AO∩PO=O
∴BF⊥平面PAO
∵PA?平面PAO
∴PA⊥BF；
（2）解：∵顶点P在底面上的射影是BF的中点O
∴∠PBO为直线PB与平面ABCDEF所成的角
∵直线PB与平面ABCDEF所成的角为

π

4

，
∴∠PBO=

π

4

以OB，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，-

1

2

，0），B（-

3

2

，0，0），P（0，0，

3

），D（0，

3

2

，0）
∴

PB

=(-

3

2

，0， -

3

)，

AB

=(-

3

2

，

1

2

，0)，

BD

=(

3

2

，

3

2

，0)
设平面APB的法向量为

m

=(x，y，z)，则

m • PB =0 m • AB =0

，
∴

- 3 2 x- 3 z=0 - 3 2 x+ 1 2 y=0

，领z=-1，可得

m

=(2，2

3

，-1)
同理可得平面DPB的法向量为

n

=(-2，

2 3

3

，1)
设二面角A-PB-D的平面角为α，则cosα=

m • n

| m || n |

=-

3 17×19

=-

969

323

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是利用线面垂直证明线线垂直，利用向量法，求面面角，属于中档题．