Question

9．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}-b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函数．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0求得b，再验证奇偶性；
（2）运用单调性的定义证明函数在R上单调递减；
（3）根据单调性确定函数的值域，由此得出参数的范围．

解答 解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以，f（0）=0，
解得b=-1，f（x）=$\frac{1-2^x}{{2}^{x+1}+2}$，验证如下：
f（-x）+f（x）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1-{2}^{-x}}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1-2^x}{1+2^x}$]=0，
所以，f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，
因此，b=-1；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{1}{2}$[$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$]=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为，x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，所以，f（x）在R上单调递减；
（3）因为f（x）在[0，1]上单调递减，
所以，f（x）∈[f（1），f（0）]=[-$\frac{1}{6}$，0]，
要使方程f（x）=m在x∈[0，1]上有解，
则m∈[-$\frac{1}{6}$，0]．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数单调性的判断和证明，方程有解问题的解法，属于中档题．