Question

如图，已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

3

2

，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为

6 5

5

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求

EP

•

QP

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用离心率为

3

2

得到关于a，b，c之间的关系，再结合点O到直线AB的距离为

6 5

5

，即可求出a，b，c，进而得到椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求问题转化为

EP

2，再利用点P在抛物线上，利用抛物线上的点的范围限制即可求出

EP

•

QP

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由离心率 e=

c

a

=

3

2

，得

b

a

=

1-e2

=

1

2

∴a=2b①
∵原点O到直线AB的距离为

6 5

5

∴

ab

a2+b2

=

6 5

5

②，
将①代入②，得b²=9，∴a²=36
则椭圆C的标准方程为

x2

36

+

y2

9

=1
（Ⅱ）因为EP⊥EQ∴

EP

•

EQ

=0
∴

EP

•

QP

=

EP

•(

EP

-

EQ

)=

EP

2
设P（x，y），则

x2

36

+

y2

9

=1，即 y2=9-

x2

4

∴

EP

•

QP

=

EP

2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+9-

x2

4

=

3

4

(x-4)2+6
∵-6≤x≤6，∴6≤

3

4

(x-4)2+6≤81
则

EP

•

QP

的最小值为：6．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．解决第一问的关键是利用条件列出关于a，b，c之间的方程．第二问重点是数量积的应用，二次函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想．