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15.已知函数f(x)=-x2+2bx+c,任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时,都有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_2}-{x_1}}}$<0,则实数b的取值范围为b≥0.

分析 若任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时,都有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_2}-{x_1}}}$<0,则函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,结合二次函数的图象和性质,可得实数b的取值范围.

解答 解:∵任意的x1,x2∈(-∞,0)且x1≠x2时,都有$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{{x_2}-{x_1}}}$<0,
∴函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,
又∵函数f(x)=-x2+2bx+c的图象是开口朝下,且以直线x=b为对称轴的抛物线,
故b≥0,
故答案为:b≥0

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.

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