Question

观察下面等式，归纳出一般结论，并用数学归纳法证明你的结论．
结论：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

分析：观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答：解：由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是

1

6

倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，
所以，猜想：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

------------------（4分）
证明：（1）当n=1时，左边=1²=1，右边=

1×2×3

6

=1，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

-----------（6分）
那么，当  n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=

k(k+1)(2k+1)

6

+(K+1)2
=

k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

，
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案为：

n(n+1)(2n+1)

6

．

点评：本题是中档题，考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．