【题目】已知定义在上的函数是奇函数.
(1)求函数的值域;
(2)若在上单调递减,根据单调性定义求实数b的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若方程在区间上有且仅有两个不同的根,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)先由函数奇偶性,得到,求得,借助基本不等式可求函数的值域;
(2)先设,作差得,根据单调性的定义,即可求出结果;
(3)根据(1)(2)的结果,得到方程在区间上有且仅有一个非零根,设,根据二次函数零点分布的情况,即可列出不等式求解.
(1)因为定义在上的函数是奇函数,
所以,即;所以;
当时,;
当时,,根据基本不等式可得:若,则;若,则;即,即;
综上,函数的值域为;
(2)设,则,
因为在上单调递减,
所以,因为,,,所以,
故实数b的取值范围是;
(3)由(1)(2)得,方程可化为或,
由已知得,方程在区间上有且仅有一个非零根.
设,
①,解得:;
②,解得:.
综上,实数的取值范围是.
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【题目】如图,某企业的两座建筑物AB,CD的高度分别为20m和40m,其底部BD之间距离为20m.为响应创建文明城市号召,进行亮化改造,现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备,投影到建筑物CD上形成投影幕墙,既达到亮化目的又可以进行广告宣传.已知投影设备的投影张角∠EAF为,投影幕墙的高度EF越小,投影的图像越清晰.设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α,幕墙的高度EF为y(m).
(1)求y关于α的函数关系式,并求出定义域;
(2)当投影的图像最清晰时,求幕墙EF的高度.
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【题目】已知不等式.
(1)是否存在实数m,使不等式对任意恒成立?并说明理由.
(2)若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.
(3)若对于,不等式恒成立,求实数x的取值范围.
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【题目】名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示:
(1)求频率分布直方图中实数的值;
(2)估计20名学生成绩的平均数;
(3)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩不都在中的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点P的坐标为.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设椭圆的右顶点为C,不经过点C的直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过点C,
①证明:直线l过定点,并求出该定点坐标;
②求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆两焦点分别为是椭圆在第一象限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
(1)求点坐标;
(2)求证:直线的斜率为定值;
(3)求面积的最大值.
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【题目】如图,在三棱柱中,底面为边长为的正三角形,在底面的射影为中点且到底面的距离为,已知分别是线段与上的动点,记线段中点的轨迹为,则等于( )(注:表示的测度,本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体,分别对应为其长度、面积、体积)
A. B. C. D.
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【题目】2018年1月8日,中共中央国务院隆重举行国家科学技术奖励大会,在科技界引发热烈反响,自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位:克)的关系为:当时,y是x的二次函数;当时,测得数据如下表(部分):
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当该产品中的新材料含量x为何值时,产品的性能指标值最大.
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