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9.已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2.记g(x)为f(x)的导函数.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线x+y+3=0,求a的值;
(2)讨论g(x)=0的解的个数;
(3)证明:对任意的0<s<t<2,恒有$\frac{g(s)-g(t)}{s-t}$<1.

分析 (1)求出f(x)的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为-1,解方程可得a;
(2)由题意可得a=x-1-lnx,x>0,设h(x)=x-1-lnx,求出导数,单调区间和极值、最值,讨论a的范围,即可得到解的个数;
(3)由题意可得即有$\frac{g(s)-s-[g(t)-t]}{s-t}$<0,即证g(x)-x在(0,2)为减函数.可令k(x)=g(x)-x=-2(1+lnx)+x-2a,0<x<2,求出导数,判断单调性即可得证.

解答 解:(1)函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2
的导数为f′(x)=-2(1+lnx)+2x-2a,
可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2+2-2a=-2a,
切线垂直于直线x+y+3=0,可得-2a=1,解得a=-$\frac{1}{2}$;
(2)g(x)=f′(x)=-2(1+lnx)+2x-2a=0,
即为a=x-1-lnx,x>0,
设h(x)=x-1-lnx,h′(x)=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$,
当x>1时,h′(x)>0,h(x)递增;
当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)递减.
可得h(x)在x=1处取得极小值,也为最小值0,
则当a=0时,g(x)=0有一解;
当a<0时,g(x)=0无解;
当a>0时,g(x)=0有两解;
(3)证明:对任意的0<s<t<2,恒有$\frac{g(s)-g(t)}{s-t}$<1,
即有$\frac{g(s)-s-[g(t)-t]}{s-t}$<0,
即证g(x)-x在(0,2)为减函数.
可令k(x)=g(x)-x=-2(1+lnx)+x-2a,0<x<2,
k′(x)=-2•$\frac{1}{x}$+1=$\frac{x-2}{x}$,
由0<x<2可得k′(x)<0,
可得k(x)=g(x)-x在(0,2)递减,
故对任意的0<s<t<2,恒有$\frac{g(s)-g(t)}{s-t}$<1.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查分类讨论思想方法和构造法的运用,同时考查化简整理的运算能力,属于中档题,

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