Question

【题目】在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.

对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；

对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；

对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，

平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，

所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；

对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，

四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，

故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.

故答案为：①③④.