Question

17．f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质，利用对称关系即可求f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义即可证明：f（x）在（0，1）上是减函数．

解答 解：（1）若x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∵当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
∴当-x∈（0，1）时，f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{-x}•{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$=-f（x）．
即f（x）=-$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$，x∈（-1，0）；
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．
设任意的x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}）}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴1＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，1-${2}^{{x}_{1}}$•${2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在（0，1）上是单调减函数．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明，函数解析式的求解，要求熟练掌握利用定义证明函数的单调性，利用函数奇偶性的性质和单调性的定义是解决本题的关键．