Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）斜率为1的直线l与椭圆相交于B，D两点，若以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】(1)．(2) y＝x或y＝x．

【解析】

（1）根据离心率得到a2＝2 c2，根据得到，计算得到答案.

（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，利用韦达定理得到x1+x2，x1 x2，代入计算得到答案.

（1）∵椭圆的离心率为，∴e，即a2＝2c2①，

∵过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．

∴M（c，）再代入椭圆方程得，②，又a2＝b2+c2③，

联立①②③得，b2＝c2＝1，a2＝2，∴椭圆方程：．

（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），

联立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

x1+x2，x1 x2，y1+y2，y1 y2，

∵以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，

∴0，

∴m．

∴直线l方程为 y＝x或y＝x．