(本小题满分14分)
如图,四边形中(图1),是的中点,,,将(图1)沿直线折起,使二面角为(如图2)
(1)求证:平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
解:
(1) 如图取BD中点M,连接AM,ME。因 ……1分
因 , 满足:,
所以是BC为斜边的直角三角形,,
因是的中点,所以ME为的中位线 ,
, …… 2分
是二面角的平面角= ……3分
,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
平面AEM ……4分
因,为等腰直角三角形,
…… 6分
…… 7分
(2)如图,以M为原点MB为x轴,ME为y轴,建立空间直角坐标系,…….. 8分
则由(1)及已知条件可知B(1,0,0),,
,D,C
…… 9分
设异面直线与所成角为,
则 ……10分
……11分
由可知满足,
是平面ACD的一个法向量, …… 12分
记点到平面的距离d,则在法向量方向上的投影绝对值为d
则 ……13分 所以d …… 14分
(2),(3)解法二:
取AD中点N,连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD
所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角,
即或其补角中较小之一 …… 8分
,N为在斜边中点
所以有NE=,MN=,ME=,
…….9分
= ……10分
(3)记点到平面的距离d,则三棱锥B-ACD的体积, ……11分
又由(1)知AE是A-BCD的高、 …..12分
E为BC中点,AEBC 又, ,
……13分
到平面的距离 ……14分
解法三:(1) 因 , 满足:, , 1分
如图,以D为原点DB为x轴,DC为y轴,建立空间直角坐标系, …….. 2分
则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),, A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0) …….3分
得 ….. 4分
平面BCD的法向量可取,
,所以平面ABD的一个法向量为 5分
则锐二面角的余弦值 …..6分
从而有, 7分
所以平面 9分
(2)由(1),D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),
设异面直线与所成角为,则 ……10分
……11分
(3)由可知满足,
是平面ACD的一个法向量, …… 12分
记点到平面的距离d,则在法向量方向上的投影绝对值为d
则 ……13分 所以d …… 14分
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
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