Question

已知函数，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0．e]上的最大值为2，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=-1时代入函数，求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（2）对方程f'（x）=0有无实根，和有根，根是否在区间（0，e]内进行讨论，求得函数的极值，确定函数的最大值．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-1时，f（x）=lnx-x
f′（x）=-1=
令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，
∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）f′（x）==
①当a＜0时，x＞0，∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=2
∴=2
∴a=e符号题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0得x=-a，
1°若0＜-a≤e，即-e≤a＜0时
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e^{2不符号题意，舍去；}
2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，
故f（x）_max=f（e）=2
∴a=e不符号题意，舍去；
故a=e．
点评：考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法，注意函数的定义域；属难题．