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已知函数,其中a为常数,e为自然对数的底数.
(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间(0.e]上的最大值为2,求a的值.
【答案】分析:(1)把a=-1时代入函数,求导,令f′(x)>0求出函数的增区间,令f′(x)<0求出函数的减区间;
(2)对方程f'(x)=0有无实根,和有根,根是否在区间(0,e]内进行讨论,求得函数的极值,确定函数的最大值.
解答:解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)
当a=-1时,f(x)=lnx-x
f′(x)=-1=
令f′(x)>0得,0<x<1,令f′(x)<0得,x>1或x<0,
∴函数f(x)增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);
(2)f′(x)==
①当a<0时,x>0,∴f′(x)>0
∴函数f(x)在(0.e]上是增函数,
∴f(x)max=f(e)=2
=2
∴a=e符号题意;
②当a<0时,令f′(x)=0得x=-a,
1°若0<-a≤e,即-e≤a<0时
∴f(x)max=f(-a)=2
∴-1+ln(-a)=2,
∴a=-e2不符号题意,舍去;
2°若-a>e,即a<-e时,在(0,e]上f′(x)>0.∴f(x)在(0.e]上是增函数,
故f(x)max=f(e)=2
∴a=e不符号题意,舍去;
故a=e.
点评:考查利用导数的方法研究函数的单调性、极值、最值和分类讨论的思想方法,注意函数的定义域;属难题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1a-x
-1
(其中a为常数,x≠a).利用函数y=f(x)构造一个数列{xn},方法如下:
对于给定的定义域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述构造过程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中,那么构造数列的过程继续下去;如果xi不在定义域中,那么构造数列的过程就停止.
(Ⅰ)当a=1且x1=-1时,求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)如果可以用上述方法构造出一个常数列,求a的取值范围;
(Ⅲ)是否存在实数a,使得取定义域中的任一实数值作为x1,都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均为常数)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)利用函数y=f(x)构造一个数列{xn},方法如下:
对于给定的定义域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述构造过程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中,构造数列的过程继续下去;如果xi不在定义域中,则构造数列的过程停止.
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn},求a的取值范围;
②如果取定义域中的任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn},求a实数的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2006•石景山区一模)已知函数y=f(x)对于任意θ≠
2
(k∈Z),都有式子f(a-tanθ)=cotθ-1成立(其中a为常数).
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用函数y=f(x)构造一个数列,方法如下:
对于给定的定义域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述构造过程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中,那么构造数列的过程继续下去;如果xi不在定义域中,那么构造数列的过程就停止.
(ⅰ)如果可以用上述方法构造出一个常数列,求a的取值范围;
(ⅱ)是否存在一个实数a,使得取定义域中的任一值作为x1,都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
(ⅲ)当a=1时,若x1=-1,求数列{xn}的通项公式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1+kx),其中a>0且a≠1.
(Ⅰ)当k=-2时,求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域;
(Ⅱ)若函数H(x)=f(x)-g(x)是奇函数(不为常函数),求实数k的值.

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科目:高中数学 来源:2010年高考数学新题型解析选编(7)(解析版) 题型:解答题

已知函数y=f(x)满足f(a-tanθ)=cotθ-1,(其中,a、θ∈R均为常数)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)利用函数y=f(x)构造一个数列{xn},方法如下:
对于给定的定义域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…
在上述构造过程中,如果xi(i=1,2,3,…)在定义域中,构造数列的过程继续下去;如果xi不在定义域中,则构造数列的过程停止.
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn},求a的取值范围;
②如果取定义域中的任一值作为x1,都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn},求a实数的值.

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