Question

（2013•静安区一模）在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t-

π

3

）+isin（2t-

π

3

）（i为虚数单位），则当t由

π

12

连续变到

π

4

时，向量

AP

所扫过的图形区域的面积是

π

6

．

Answer 1

分析：当t=

π

12

时，求得点P的坐标为P₁（

3

2

，-

1

2

），当t=

π

4

时，点P的坐标为P₂（

3

2

，

1

2

）．向量

AP

所扫过的图形区域的面积是△AP₁P₂的面积与弓形的面积之和，故向量

AP

所扫过的图形区域的面积是扇形P₁OP₂的面积．再根据∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，求得扇形P₁OP₂的面积．

解答：解：由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π）．
 t=

π

12

时，点P的坐标为P₁（

3

2

，-

1

2

）； 当t=

π

4

 时，点P的坐标为P₂（

3

2

，

1

2

），
向量

AP

所扫过的图形区域的面积是△AP₁P₂的面积与弓形的面积之和，
而△AP₁P₂的面积等于△OP₁P₂的面积（因为这两个三角形同底且等高），
故向量

AP

所扫过的图形区域的面积是扇形P₁OP₂的面积．
由于∠P₁OP₂=2×

π

6

=

π

3

，∴扇形P₁OP₂的面积为
等于

1

2

×

π

3

×12=

π

6

，
故答案为

π

6

．

点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用，
属于基础题．