Question

给出下列结论：
①若

a

，

b

是非零向量，

a

⊥

b

，则|

a

+

b

|=|

a

-

b

|；
②若四边形ABCD是平行四边形，则

BC

=

DA

；
③三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b²+c²＜a²，则角A为钝角；
④存在实数x使得sinx+cosx=

3

2

．
其中正确的结论是

①③

．

Answer 1

分析：①利用平面向量的数量积进行判断．②利用向量相等的概念判断．③利用余弦定理的判断．④利用辅助角公式进行判断．

解答：解：①若

a

⊥

b

，则

a

?

b

=0，所以|

a

+

b

|2=

a

2+2

a

?

b

+

b

2=

a

2+

b

2，|

a

-

b

|2=

a

2-2

a

?

b

+

b

2=

a

2+

b

2，所以|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，所以①正确．
②因为四边形ABCD是平行四边形，所以

BC

=

AD

，所以②错误．
③因为b²+c²＜a²，所以由余弦定理得cos?A=

b2+c2-a2

2bc

＜0，所以角A为钝角，所以③正确．
④因为sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，所以sinx+cosx的最大值为

2

，因为

3

2

＞

2

，所以不存在实数x使得sinx+cosx=

3

2

．所以④错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强．