【题目】【2018安徽淮南市高三一模(2月)】已知函数.
(I)若,讨论函数
的单调性;
(II)曲线与直线
交于
,
两点,其中
,若直线
斜率为
,求证:
.
【答案】(I)答案见解析;(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)问题等价于,令
,则
,问题转化为只需证
,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:
(1) ,
,
当时,恒有
,
在区间
上是增函数,
当时,令
,即
,解得
;令
,即
,解得
,
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数.
综上,当时,
在区间
上是增函数;
当时,
在区间
上是增函数,在区间
上是减函数.
(2)证明: ,要证明
,
即证,等价于
,令
(由
,知
),
则只需证,由
知
,故等价于
(*)
①令,则
,所以
在
上是增函数,
当时,
,所以
;
②令,则
,所以
在
内是增函数,
当时,
,所以
,
综上, .
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【题目】某电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”.A、B、C、D四个管理部门的负责人接受问政,分别负责问政A、B、C、D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下.为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺畅”几个月来的评价,对每位现场市民都进行了问卷调查,然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计,统计结果如下面表格所示:
满意 | 一般 | 不满意 | |
A部门 | 50% | 25% | 25% |
B部门 | 80% | 0 | 20% |
C部门 | 50% | 50% | 0 |
D部门 | 40% | 20% | 40% |
(1)若市民甲选择的是A部门,求甲的调查问卷被选中的概率;
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈,求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率.
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【题目】如图所示,椭圆的短轴为
,
,离心率
,
为第一象限内椭圆上的任意一点,设
轴于
,
为线段
的中点,过
作直线
轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)若的纵坐标为
,求直线
截椭圆
所得的弦长;
(3)若直线交直线
于
,
为直线
上一点,且
为原点),证明:
为线段
的中点.
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【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若圆的任意一条切线
与椭圆E相交于P,Q两点,试问:
是否为定值? 若是,求这个定值;若不是,说明理由.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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【题目】已知为椭圆
的右焦点,
为
上的任意一点.
(1)求的取值范围;
(2)是
上异于
的两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,证明:
两点的横坐标之和为常数.
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【题目】如图,抛物线的焦点为
,抛物线上一定点
.
(1)求抛物线的方程及准线
的方程;
(2)过焦点的直线(不经过
点)与抛物线交于
两点,与准线
交于点
,记
的斜率分别为
,问是否存在常数
,使得
成立?若存在
,求出
的值;若不存在,说明理由.
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