Question

11．设函数f（x）=ax²-lnx+1（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=ax²-e^x+3，求证：f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，对a讨论，分a≤0时，a＞0时，判断导数符号，可得单调性；
（2）设h（x）=f（x）-g（x）=ax²-lnx+1-（ax²-e^x+3）=e^x-lnx-2，求出h（x）的导数为h′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$=$\frac{x{e}^{x}-1}{x}$，判断xe^x-1在x＞0上递增，且y＞-1．设xe^x-1=0的根为x₀，即有x₀e^x₀=1，（0＜x₀＜1），求出h（x）的最小值，判断大于0，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-lnx+1的导数为f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$
=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，x＞0，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$．
则当a≤0时，f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间；
当a＞0时，f（x）的增区间为（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞），减区间为（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）；
（2）证明：h（x）=f（x）-g（x）=ax²-lnx+1-（ax²-e^x+3）
=e^x-lnx-2，
h（x）的导数为h′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$=$\frac{x{e}^{x}-1}{x}$，
由y=xe^x-1的导数为y′=（x+1）e^x＞0，对x＞0恒成立，
即有函数y=xe^x-1在x＞0上递增，且y＞-1．
设xe^x-1=0的根为x₀，即有x₀e^x₀=1，（0＜x₀＜1），
则当x＞x₀时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当0＜x＜x₀时，h′（x）＜0，h（x）递减．
故当x=x₀时，h（x）取得最小值，且为e^x₀-lnx₀-2，
即有$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2＞2$\sqrt{{x}_{0}•\frac{1}{{x}_{0}}}$-2=0，
则h（x）＞0恒成立，
即有f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立．
另解：当x＞0时，由e^x＞x+1，lnx＜x-1这两个不等式知，
f（x）-g（x）=e^x-lnx-2＞x+1-x+1-2=0，
即为f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性和转化思想的运用，属于中档题．