Question

已知双曲线E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由双曲线E： ，得l：x=﹣4，C（﹣4，0），F（﹣6，0）．
又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）²+y²=16．   
（Ⅱ）由题意，设G（﹣5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得 ，
所以FG的斜率为 ，FG的方程为 ．
所以C（﹣4，0）到FG的距离为 ，
直线FG被圆C截得的弦长为 
（Ⅲ）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由 ，
得 
整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144﹣s²﹣t²=0．
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，
解得：s=﹣12，t=0．
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（﹣12，0）．