分析 (1)取AB中点F,连接EF、DF,则EF∥PB,由∠CBD=∠FDB=30°,得DF∥BC,从而平面DEF∥平面PBC,由此能证明DE∥平面PBC.
(2)连接DF,分别取FB,FD,FP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角P-BC-E的余弦值.
解答 证明:(1)取AB中点F,连接EF、DF,…(1分)
∵E为棱PA的中点,∴EF∥PB,
∵∠CBD=∠FDB=30°
∴DF∥BC
∵EF、DF?平面DEF,PB、BC?平面PBC
∴平面DEF∥平面PBC,…(4分)
∵DE?平面DEF,∴DE∥平面PBC.…(6分)
解:(2)∵PA=PB=2,∴PF⊥AB,∵平面PAB⊥平面ABCD,交线为AB,
∴PF⊥平面ABCD,且PF=1,
连接DF,分别取FB,FD,FP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.…(7分)
则点$A(-\sqrt{3},0,0)$,B($\sqrt{3}$,0,0),$C(\sqrt{3},2,0)$,D(0,3,0),P(0,0,1),E(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,$\frac{1}{2}$),…(8分)
设平面BCP的法向量为$\overrightarrow m=(x,y,\sqrt{3})$
则$\overrightarrow{BC}=(0,2,0),\overrightarrow{BP}=(-\sqrt{3},0,1)$,
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0,\overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0$,
即$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$,∴y=0,x=1,即$\overrightarrow m=(1,0,\sqrt{3})$…(10分)
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow n=(a,b,\sqrt{3})$,
$\overrightarrow{BE}=(\frac{{-3\sqrt{3}}}{2},0,\frac{1}{2})$,则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}=0}\end{array}\right.$,
∴$a=\frac{1}{3},b=0$,∴$\overrightarrow n=(\frac{1}{3},0,\sqrt{3})$…(11分)
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$,
∴二面角P-BC-E的余弦值为$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$.…(12分)
点评 本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 最小值-6 | B. | 最大值-6 | C. | 最小值-2 | D. | 最小值-4 |
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