Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABD是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点F，连接EF、DF，则EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，从而平面DEF∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．
（2）连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-E的余弦值．

解答 证明：（1）取AB中点F，连接EF、DF，…（1分）
∵E为棱PA的中点，∴EF∥PB，
∵∠CBD=∠FDB=30°
∴DF∥BC
∵EF、DF?平面DEF，PB、BC?平面PBC
∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）
∵DE?平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）
解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，
∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，
连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（7分）
则点$A（-\sqrt{3}，0，0）$，B（$\sqrt{3}$，0，0），$C（\sqrt{3}，2，0）$，D（0，3，0），P（0，0，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），…（8分）
设平面BCP的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，\sqrt{3}）$
则$\overrightarrow{BC}=（0，2，0），\overrightarrow{BP}=（-\sqrt{3}，0，1）$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow m•\overrightarrow{BP}=0$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，∴y=0，x=1，即$\overrightarrow m=（1，0，\sqrt{3}）$…（10分）
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow n=（a，b，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{BE}=（\frac{{-3\sqrt{3}}}{2}，0，\frac{1}{2}）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}=0}\end{array}\right.$，

∴$a=\frac{1}{3}，b=0$，∴$\overrightarrow n=（\frac{1}{3}，0，\sqrt{3}）$…（11分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
∴二面角P-BC-E的余弦值为$\frac{{5\sqrt{7}}}{14}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．