Question

18．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AD的中点，正方形DBFG所在平面与平面ABCD垂直．
（1）求证：BE⊥平面BCF；
（2）求直线AF与平面BCG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出BE⊥BC，BF⊥BC，由此能证明BE⊥平面BCF．
（2）以B为原点，EB延长线为x轴，BC为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BCG所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AD的中点，
∴BE⊥AD，∵AD∥BC，∴BE⊥BC，
∵正方形DBFG所在平面与平面ABCD垂直，
∴BF⊥BD，∴BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，
∵BF∩BC=B，
∴BE⊥平面BCF．
解：（2）以B为原点，EB延长线为x轴，BC为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，则A（-$\sqrt{3}$，-1，0），F（0，0，2），
B（0，0，0），C（0，2，0），G（-$\sqrt{3}$，1，2），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BG}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），
设平面BCG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），111111111111
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\end{array}\right.$，
取x=4$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（4$\sqrt{3}$，0，6），
设直线AF与平面BCG所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•AF}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$|=|$\frac{12+12}{2\sqrt{2}•2\sqrt{21}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．
∴直线AF与平面BCG所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．