【题目】如图,在各棱长均为2的三棱柱中,侧面底面ABC,.
(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知点D满足,在直线上是否存在点P,使DP∥平面?若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)恰好为点.
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,求出AA1向量,平面AA1C1C的法向量,然后求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小;
(2)在(1)的前提下,求出,设出P的坐标,使DP∥平面AB1C,即与法向量共线,再求出P的坐标.
(1)∵侧面底面ABC,作A1O⊥AC于点O,
∴平面.
又,且各棱长都相等,
∴,,.
故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
则,,,,
∴,,.
设平面的法向量为
则,取,得.
设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ,
则,
∴侧棱与平面所成角的正弦值为.
(2)∵,而,
∴,又∵,∴点.
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为,∴
∵DP∥平面,为平面的法向量,∴,得z=,
又由,得,∴.
又平面,故存在点P,使DP∥平面,其坐标为,
即恰好为点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
图1 图2
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知三棱锥的三条侧棱, , 两两垂直, 为等边三角形, 为内部一点,点在的延长线上,且.
(Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ)证明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体的棱长为2,P为BC的中点,Q为线段上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的编号).
①当时,S为四边形;②当时,S为等腰梯形;③当时,S与的交点R满足;④当时,S为五边形;⑤当时,S的面积为.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M为CD中点,求证:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前项和为, ,数列满足点在直线上.
(1)求数列, 的通项, ;
(2)令,求数列的前项和;
(3)若,求对所有的正整数都有成立的的范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列共有k项,且同时满足,,则称数列为数列.
(1)若等比数列为数列,求的值;
(2)已知为给定的正整数,且,
①若公差为的等差数列是数列,求公差d;
②若数列的通项公式为,其中常数,判断数列是否为数列,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】治理大气污染刻不容缓,根据我国分布的《环境空气质量数(AQI)技术规定》:空气质量指数划分阶为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级,对应于空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显.专家建议:当空气质量指数小于时,可以户外运动;空气质量指数及以上,不适合进行旅游等户外活动,以下是某市年月中旬的空气质量指数情况:
时间 | 11日 | 12日 | 13日 | 14日 | 15日 | 16日 | 17日 | 18日 | 19日 | 20日 |
AQI | 149 | 143 | 251 | 254 | 138 | 55 | 69 | 102 | 243 | 269 |
(1)求月中旬市民不适合进行户外活动的概率;
(2)一外地游客在月中旬来该市旅游,想连续游玩两天,求适合旅游的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com