Question

某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为

3

4

，有且仅有一项技术指标达标的概率为

5

12

．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率；
（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；
（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ．

Answer 1

分析：（1）一个零件经过检测为合格品零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，设出概率，列出方程，得到结果．
（2）任意抽出5个零件进行检查，由题意知本题是一个独立重复试验，其中至多3个零件是合格品的对立事件比较简单，可以从它的对立事件来解题．
（3）由题意知本题满足二项分布的条件，利用二项分布的期望和方差公式，代入数据，做出结果．

解答：解：（Ⅰ）一个零件经过检测为合格品，零件有A、B两项技术指标需要检测，
设各项技术指标达标与否互不影响
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率
设A、B两项技术指标达标的概率分别为P₁、P₂．
由题意得：

P1= 3 4 P1(1-P2)+(1-P1)P2= 5 12

，
∴P2=

2

3

．
∴一个零件经过检测为合格品的概率P=P1P2=

3

4

×

2

3

=

1

2

（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，本题是一个独立重复试验，
其中至多3个零件是合格品的对立事件比较简单，
可以从它的对立事件来解题，
∴至多3个零件是合格品的概率为：1-

C

4 5

(

1

2

)5-

C

5 5

(

1

2

)5=

13

16

．
（Ⅲ）依题意知ξ～B(4，

1

2

)，
Eξ=4×

1

2

=2，
Dξ=4×

1

2

×

1

2

=1．

点评：二项分布要满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的，各次试验中的事件是相互独立的，每次试验只要两种结果，要么发生要么不发生，随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数．