Question

6．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上的一动点．
（1）求证：平面PAC⊥平面NEF；
（2）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值；
（3）在第（2）问的条件下，求平面MEF与平面NEF的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；
（2）几何法：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．
向量法：建立空间直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．
（3）分别求出平面MEF的法向量和平面NEF的法向量，由此利用向量法能求出平面MEF与平面NEF的夹角的大小．

解答 证明：（1）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；
解：（2）（几何法）
连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，
∴PC∥OM，
∴$\frac{PM}{PA}=\frac{OC}{AC}$=$\frac{1}{4}$，
∴PM：MA=1：3
（向量法）
建立如图所示的直角坐标系，
则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），
设点M的坐标为M（0，0，m），则$\overrightarrow{ME}$=（4，2，-m），
设平面MEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}=4x+2y-mz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{6}{m}$），
∵PC∥平面MEF，∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}$=4+4-$\frac{24}{m}$=0，解得m=3，
故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点，
∴PM：MA=1：3．
（3）E（4，2，0），F（2，4，0），M（0，0，3），N（4，4，2），
$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{EM}$=（-4，-2，3），$\overrightarrow{EN}$=（0，2，2），
设平面MEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=-4x-2y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
设平面NEF的法向量$\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=-2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EN}=2b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+1-2=0，
∴平面MEF与平面NEF的夹角的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．