Question

若函数y=f（x）在x=x处取得极大值或极小值，则称x为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函数的导函数，然后根据1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；
（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．
解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x³-3x，
∴g'（x）=f（x）+2=x³-3x+2=（x-1）²（x+2），解得x₁=x₂=1，x₃=-2．
∵当x＜-2时，g'（x）＜0；当-2＜x＜1时，g'（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的极值点．
∵当-2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．
∴g（x）的极值点是-2．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于中档题．