Question

10．已知F₁和F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 连接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，F₂F₁=2c，AF₁=c，AF₂=$\sqrt{3}$c，由双曲线的定义可知：AF₂-AF₁=$\sqrt{3}$c-c=2a，变形可得离心率的值．

解答 解：连接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，
由焦距的意义可知F₂F₁=2c，AF₁=c，
由勾股定理可知AF₂=$\sqrt{3}$c，
由双曲线的定义可知：AF₂-AF₁=2a，即$\sqrt{3}$c-c=2a，
变形可得双曲线的离心率$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．