Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），
（1）若x=0为函数的一个极值点，且f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上单调且单调性相反，求

b

a

的取值范围．
（2）当b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f'（x）=3ax²+2bx+c，f'（0）=0，由此利用导数性质能求出

b

a

的取值范围．
（2）由已知得f（-2）=-8a+12a+d=0，从而f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，x=0或x=-2．列表讨论能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（x）=ax³+bx²+cx+d，
所以f'（x）=3ax²+2bx+c．
又f（x）在x=0处有极值，
所以f'（0）=0即c=0，
所以f'（x）=3ax²+2bx．
令f'（x）=0，所以x=0或x=-

2b

3a

．
又因为f（x）在区间（-6，-4），（-2，0）上单调且单调性相反，
所以-4≤-

2b

3a

≤-2所以3≤

b

a

≤6．（5分）
（2）因为b=3a，且-2是f（x）=ax³+3ax²+d的一个零点，
所以f（-2）=-8a+12a+d=0，
所以d=-4a，从而f（x）=ax³+3ax²-4a，
所以f'（x）=3ax²+6ax，令f'（x）=0，所以x=0或x=-2．（7分）
列表讨论如下：

x	-3	（-3，-2）		-2[	（-2，0）		0	（0，2）		2
		a＞0	a＜0	a＞0	a＜0	a＞0	a＜0
f'（x）		+	-	0	-	+	0	+	-
f（x）	-4a	↗	↘	0	↘	↗	-4a	↗	↘	16a

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a．
当a＜0时，若-3≤x≤2，则16a≤f（x）≤-4a．
从而

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

或

a＜0 16a≥-3 -4a≤2

，即0＜a≤

1

8

或-

3

16

≤a＜0
所以存在实数a∈[-

3

16

，0)∪(0，

1

8

]，满足题目要求． （13分）

点评：本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．