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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(x∈R,a≠0),
(1)若x=0为函数的一个极值点,且f(x)在区间(-6,-4),(-2,0)上单调且单调性相反,求
b
a
的取值范围.
(2)当b=3a,且-2是f(x)=ax3+3ax2+d的一个零点,求a的取值范围.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点,利用导数研究函数的单调性
专题:导数的综合应用
分析:(1)由已知得f'(x)=3ax2+2bx+c,f'(0)=0,由此利用导数性质能求出
b
a
的取值范围.
(2)由已知得f(-2)=-8a+12a+d=0,从而f'(x)=3ax2+6ax,令f'(x)=0,x=0或x=-2.列表讨论能求出实数a的取值范围.
解答: 解:(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx+d,
所以f'(x)=3ax2+2bx+c.
又f(x)在x=0处有极值,
所以f'(0)=0即c=0,
所以f'(x)=3ax2+2bx.
令f'(x)=0,所以x=0或x=-
2b
3a

又因为f(x)在区间(-6,-4),(-2,0)上单调且单调性相反,
所以-4≤-
2b
3a
≤-2
所以3≤
b
a
≤6
.(5分)
(2)因为b=3a,且-2是f(x)=ax3+3ax2+d的一个零点,
所以f(-2)=-8a+12a+d=0,
所以d=-4a,从而f(x)=ax3+3ax2-4a,
所以f'(x)=3ax2+6ax,令f'(x)=0,所以x=0或x=-2.(7分)
列表讨论如下:
x-3(-3,-2)-2[(-2,0)0(0,2)2
a>0a<0a>0a<0a>0a<0
f'(x)+-0-+0+-
f(x)-4a0-4a16a
所以当a>0时,若-3≤x≤2,则-4a≤f(x)≤16a.
当a<0时,若-3≤x≤2,则16a≤f(x)≤-4a.
从而
a>0
16a≤2
-4a≥-3
a<0
16a≥-3
-4a≤2
,即0<a≤
1
8
-
3
16
≤a<0

所以存在实数a∈[-
3
16
,0)∪(0,
1
8
]
,满足题目要求. (13分)
点评:本题考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意导数的性质的灵活运用.
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a
b
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b
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a
+
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a
a
-
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