Question

若 数列{a_n}前n项和为S_n（n∈N*）
（1）若首项a₁=1，且对于任意的正整数n（n≥2）均有

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k为正实常数），试求出数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{a_n}是等比数列，公比为q，首项为a₁，k为给定的正实数，满足：
①a₁＞0，且0＜q＜1
②对任意的正整数n，均有S_n-k＞0；
试求函数f（n）=

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

的最大值（用a₁和k表示）

Answer 1

分析：（1）先根据

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k为正实常数），求出S_n=-a_n（n≥2），然后利用a_n=S_n-S_n-1进行求解，注意验证首项；
（2）先求出f（n+1），然后根据条件判定f（n+1）-f（n）的符号，从而确定f（n）的单调性，从而求出最大值．

解答：解：（1）∵

Sn+k

Sn-k

=

an-k

an+k

，（其中k为正实常数），
∴S_n=-a_n（n≥2）
∴当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1
即

an

an-1

=

1

2

，a₂=-

1

2

∴an=

-( 1 2 )n-1，n≥2 1，n=1

（2）f（n）=

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

f（n+1）=

Sn+1+k

Sn+1-k

+k

an+1-k

an+1+k

=

Sn+an+1+k

Sn+an+1-k

+k

anq -k

anq+k

∵a₁＞0，且0＜q＜1对任意的正整数n，均有S_n-k＞0
∴f（n+1）-f（n）=

Sn+an+1+k

Sn+an+1-k

+k

anq -k

anq+k

-

Sn+k

Sn-k

+k

an-k

an+k

＜0
∴f（n）关于n是一个单调递减的函数，最大值为

a1+k

a1-k

+k

a1-k

a1+k

．

点评：本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定和最值的求解，是一道综合题，属于中档题．