Question

8．已知⊙O：x²+y²=9，过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若点P（4，-3），求直线AB的方程；
（2）若点P（x，y）为动点，且∠APB=$\frac{π}{2}$，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）直线AB可看作已知圆与以OP为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可．
（2）设点P的坐标为（x，y），根据∠APB=$\frac{π}{2}$，|PO|=$\sqrt{2}$|OA|=3$\sqrt{2}$，代入整理后即可得到答案．

解答 解：（1）直线AB可看作已知圆与以OP为直径的圆的交线，
以以OP为直径的圆的方程为：（x-2）²+（y+1.5）²=2.25，
将两圆的方程相减得直线AB的方程是4x-3y-9=0；
（2）设点P的坐标为（x，y），则
∵∠APB=$\frac{π}{2}$，
∴|PO|=$\sqrt{2}$|OA|=3$\sqrt{2}$
∴x²+y²=18．

点评 本题考查直线与圆的方程，及位置关系的判断，考查基本的运算能力，属于中档题．