Question

7．设P是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+3y≤1}\end{array}\right.$表示的平面区域内的任意一点，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-1），若$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow m+μ\overrightarrow n$，则$\frac{μ}{λ+1}$的取值范围（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，2]
• B． [0，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由向量知识和已知可得$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所对应的可行域，$\frac{μ}{λ+1}$表示区域内的点和（-1，0）连线的斜率，数形结合可得．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-1），且$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow m+μ\overrightarrow n$，
∴（x，y）=λ（-1，1）+μ（2，-1）=（-λ+2μ，λ-μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+3y≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-λ+2μ≥0}\\{λ-μ≥0}\\{（-λ+2μ）+3（λ-μ）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，
作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
$\frac{μ}{λ+1}$表示区域内的点和（-1，0）连线的斜率，
当直线经过点O（0，0）时，$\frac{μ}{λ+1}$取最小值0，
当直线经过点A（1，1）时，$\frac{μ}{λ+1}$取最大值$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．